Теория вероятности примеры решения задач

Тема 7

ТЕМА 7

ЗАДАЧА № 1

Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

X	2	5	8
P	0,4	P₂	0,1

Найти: Р₂; функцию распределения F(х) и построить ее график; математическое ожидание; дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины Х. Найти закон распределения случайной величины Y, где Y = 2X, Y = X².

РЕШЕНИЕ

1) Определим Р₂. Так как сумма всех вероятностей, указанных в таблице, должна быть равна единице (то есть Р₁ + Р₂ + Р₃ = 1), то Р₂ найдем из формулы:

Р₂ = 1 - Р₁ - Р₃

Р₂ = 1 – 0,4 – 0,1 = 0,5.

2) Построим функцию распределения

а) Рассмотрим первый интервал х <= 2:

б) Рассмотрим второй интервал 2 < х <= 5:

в) Рассмотрим третий интервал 5 < х <= 8:

г) Рассмотрим четвертый интервал х > 8:

Запишем закон распределения:

3) Построим график функции распределения:

4) Определим математическое ожидание данной случайной величины Х (математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины при большом числе испытаний):

М(Х) = 2 ? 0,4 + 5 ? 0,5 + 8 ? 0,1 = 4,1.

5) Определим дисперсию для данной случайной величины по формуле (дисперсия характеризует средний квадрат отклонения случайной величины от среднего):

Д(Х) = М(Х²) – М²(Х)

М(Х²) = 2² ? 0,4 + 5² ? 0,5 + 8² ? 0,1 = 20,5.

Д(Х) = 20,5 – 4,1² = 3,69.

6) Определим среднеквадратическое отклонение, которое характеризует среднее отклонение случайной величины от среднего, по формуле:

7) Составим закон распределения для функций Y = 2X и Y = X²

X	2	5	8
Y=2X	4	10	16
Y=X²	4	25	64
P	0,4	P₂	0,1

ЗАДАЧА №2

Случайная величина Х задана функцией распределения F(x):

Найти: а) плотность распределения вероятностей, математическое ожидание, дисперсию, СКО, медиану и моду случайной величины Х;
б) вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (1/6; 1/3);
в) квантили порядка 0,1; 0,5; 0,9 и показать их на графике.

РЕШЕНИЕ

1) Найдем плотность распределения случайной величины Х.

f(Х) = F '(x)

2) Определим математическое ожидание случайной величины Х:

3) Определим дисперсию случайной величины Х:

4) Вычислим среднеквадратичное отклонение величины Х от среднего:

5) Найдем медиану:

Решим квадратное уравнение: D = 4 + 6 = 10, x₁ = 0,193; x₂ = -0,86.

Таким образом, Me = 0,193.

6) Для определения моды построим график плотности распределения:

Построим график функции распределения:

Из графика видно, что случайная величина не имеет моды.

7) Найдем вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (1/6; 1/3).

P (x₁ < X < x₂) = F(x₁) – F(x₂)

P (1/6 < X < 1/3) = F(1/3) – F(1/6) =